1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 05

[matematikolimpiyati]

$A=\underbrace{999...999}_{\text{81 tane 9}}$ sayısı için, $A^2$ nin rakamları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 639  \qquad\textbf{b)}\ 729  \qquad\textbf{c)}\ 819  \qquad\textbf{d)}\ 873  \qquad\textbf{e)}\ 981$

[taftazani44]

$A$ sayısını $A=10^{81}-1$ şeklinde yazalım. O halde $A^2$ için, $A^{2}=\left( 10^{81}-1\right) ^{2}=10^{162}-2\cdot 10^{81}+1$ yazılabilir.
$$
\begin{array}{r}
  10000000 \ldots 001 \\
- \quad \qquad 200 \ldots 0 \\
\hline
  9\ldots 998\ldots 001
\end{array}
$$
Böylece $A^2$ nin rakamlarının toplamı $1+8+80\cdot 9= 729$ bulunur.