1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 02

[matematikolimpiyati]

$n^{1998}-1$ sayısının $10$ ile tam bölünmesini sağlayan, $2000$' den küçük kaç tane pozitif $n$ tamsayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 300  \qquad\textbf{c)}\ 400  \qquad\textbf{d)}\ 600  \qquad\textbf{e)}\ 800$

[taftazani44]

$\begin{aligned}n\equiv 1,3,7,9 mod10\end{aligned}$
Durumlarını incelemeliyiz.
$\begin{aligned}n\equiv1mod10\\ \Rightarrow n^{1198}\equiv 1 mod10\\ n=1,11,\ldots ,991\end{aligned}$
3 ve 7 için 4. Kuvvetleri 1'e denk olur.1998 4 e bölunmez
9 için yine n² ,1'e denk olur.
n=10k+9 sayıları 9,19,29,...,999
Sayıları 100+100=200 tane

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüm: $n<2000$ olan pozitif tam sayıların tamamını dört basamaklı gibi düşünebiliriz. Örneğin $19 = 0019$ olarak yazalım. İstenen koşulun sağlanması için $n$ sayısının birler basamağı ya $1$ ya da $9$ olmalıdır. Çünkü $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 $ değerleri için $n^2 \equiv 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 1, 0 \pmod{10}$ olmaktadır.

Binler basamağına $0$ veya $1$ yazabiliriz. Onlar ve yüzler basamağı için herhangi bir kısıtlama yoktur, $10$ ar değer alabilirler. Çarpma prensibi ile $2\cdot 10 \cdot 10 \cdot 2 = 400$ tane sayı bulunur.