1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 01

[matematikolimpiyati]

$\{1,2,3,...,1999\}$ kümesinin, eleman sayısı tek sayı olan kaç tane alt kümesi vardır?

$\textbf{a)}\ 2^{1999}  \qquad\textbf{b)}\ 2^{1998}  \qquad\textbf{c)}\ 2^{1998}-1  \qquad\textbf{d)}\ 2^{999}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$n$ elemanlı bir kümede,

çift sayıda eleman içeren alt küme sayısı $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + \cdots $ ve

tek sayıda eleman içeren alt küme sayısı $\dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + \cdots $

olup $(1-1)^n = 0 $ ifadesinin binom açılımından dolayı  $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + \cdots  = \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + \cdots $ elde edilir.

Tüm alt kümelerin sayısı ise $2^n$ olduğundan

$\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + \cdots  = \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + \cdots = 2^{n-1}$ dir. Yani eleman sayısı tek sayı olan alt kümelerin sayısı ile eleman sayısı çift sayı olan alt kümelerin sayısı daima eşittir. Bu değer $2^{n-1}$ dir.

Özel olarak $n=1999$ elemanlı bir küme için eleman sayısı tek sayı olan $2^{1998}$ tane alt küme bulunur.