2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$a_n=\dfrac{n^2}{(1,001)^n}$  $,$  $(n=1,2,3,...)$ dizisinin en büyük terimi kaçıncı terimdir?

$\textbf{a)}\ 1001  \qquad\textbf{b)}\ 1999  \qquad\textbf{c)}\ 2000  \qquad\textbf{d)}\ 2001  \qquad\textbf{e)}\ 2002$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

En büyük terimden sonraki terim en büyük terimden küçük olacaktır.
$$\begin {array}{lcl}
a_n &>& a_{n+1} \\
\dfrac{n^2}{(1,001)^n} &>& \dfrac{(n+1)^2}{(1,001)^{n+1}} \\
(1,001)n^2 &>& n^2 + 2n + 1 \\
n^2 - 2000n &>& 1000 \\
n(n-2000) &>& 1000
\end{array}$$

$n \leq 2000$ için sol taraf pozitif olamayacaktır. $n\geq 2001$ ise verilen eşitsizliği sağlar. O halde $2001$ den itibaren her $n$ sayısı için $a_n > a_{n+1}$ olacaktır. Bu da en büyük $a_n$ sayısının $a_{2001}$ olduğu anlamına gelir.