2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 19

[matematikolimpiyati]

Her $n$ pozitif tamsayısı için $n$'nin en büyük asal çarpanını $A(n)$ ile gösterelim. $a_1=68$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+1}=a_n+A(a_n)$ ile tanımlanan $(a_n)$ dizisinin 19-uncu terimi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 340  \qquad\textbf{b)}\ 371  \qquad\textbf{c)}\ 361  \qquad\textbf{d)}\ 350  \qquad\textbf{e)}\ 380$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$A(a_n)=p$ ve $a_n=kp$ ise $a_{n+1}=(k+1)p$ olacaktır. $A(a_1)=17$'dir. $\frac{a_1}{17}=4$ olduğundan $$a_2=5\cdot 17, \quad a_3=6\cdot 17,\quad a_4=7\cdot 17,\dots, a_{16}=19\cdot 17$$ olacaktır. Artık $A(a_n)$ değeri $17$ değil $19$'dur. Dolayısıyla, $$a_{17}=19\cdot 18,\quad a_{18}=19\cdot 19,\quad a_{19}=19\cdot 20=380$$ bulunur.