2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 16

[matematikolimpiyati]

$a_3=3$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$ bağıntısı ile tanımlanmış bir $a_1,a_2,...,a_n,...$ dizisinin ilk $100$ teriminin toplamı $100$ ise, ilk $111$ teriminin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 111  \qquad\textbf{c)}\ 136 \qquad\textbf{d)}\ 194 \qquad\textbf{e)}\ 222$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Eğer terimleri $a_1,a_2$ cinsinden yazarsak, dizi sırasıyla, $$a_1,a_2,a_2-a_1,-a_1,-a_2,a_1-a_2,a_1,a_2,\dots$$ yani dizi $6$ terimde bir tekrar ediyor. Ayrıca $a_{6k+3}=3$ ve $a_{6k}=-3$'dür. İlk $n$ terimin toplamını $S_n$ ile gösterelim. $n\geq 3$ için $$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\sum_{k=3}^{n}a_k$$ $$=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{n-2}a_{k+2}=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{n-2}(a_{k+1}-a_k)=a_1+a_2+(a_{n-1}-a_1)$$ $$=a_2+a_{n-1}$$ elde edilir. $S_{100}=a_2+a_{99}=a_2+3$ olduğundan $a_2=97$'dir. $$S_{111}=a_2+a_{110}=97+a_{2}=194$$ elde edilir.