2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 13

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki denklemin kaç reel çözümü vardır?

$x=1-2(1-2x^2)^2$ 

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$x = 1 -2(1 - 4x^2 +4x^4)$
$\Rightarrow 8x^4 - 8x^2 + x + 1 = 0$ elde edilir.

$\boxed{x=-1}$ in bir çözüm olduğu kolayca görülebilir.

Polinom bölmesiyle $ 8x^4 - 8x^2 + x + 1=(x+1)(8x^3-8x^2 + 1)$ elde edilir.

$8x^3-8x^2 + 1 = 0$ denkleminin bir çözümünün $\boxed {x=\dfrac 12}$ olduğu fark edilir.

İkinci bir polinom bölmesiyle $8x^3-8x^2 + 1=\left (x - \dfrac 12 \right )(8x^2-4x-2)$ elde edilir.
$8x^2-4x-2$ denkleminde $\Delta > 0$ olduğu için $2$ gerçel kök daha gelir. Bunlar $\boxed {x=\dfrac {1 + \sqrt 5}{4}}$ ile $\boxed {x=\dfrac {1 - \sqrt 5}{4}}$ tür.

Dolayısıyla toplamda $4$ farklı gerçel kök elde etmiş olduk.

[geo]

$1 - 2x^2 = t$ diyelim. Bu takdirde, $x = 1 – 2t^2$ olur. Böylece elde edilen $$1 - 2x^2 = t; \quad 1-2t^2 = x$$ sisteminden $$\begin{array}{lcl}
t- x = 2(t^2 – x^2) &\Rightarrow& (t – x)(1 – 2t – 2x) = 0 \\
&\Rightarrow& t = x \quad \text{veya} \quad t = \dfrac 12 - x
\end{array}$$ elde edilir. Bu durumda, $t=x \Rightarrow 1- 2x^2 = x \Rightarrow  2x^2 + x – 1= 0 \tag {1}$
$t= \dfrac 12-x \Rightarrow 1 -2x^2 = \dfrac 12 - x \Rightarrow 4x^2 – 2x – 1=0 \tag {2}$
$(1)$ ve $(2)$ denklemlerinin birbirinden farklı ikişer kökü; dolayısıyla, verilen denklemin $4$ farklı çözümü vardır.

Kaynak: Matematik Dünyası, Temmuz 2000, Cilt 9, Sayı 3