1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$\mathbb N_0= \{0,1,2,...\}$ olmak üzere $f: \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \to \mathbb N_0$ fonksiyonu her $(x,y) \in \mathbb N_0 \times \mathbb N_0$ için

$f(0,y)=y+1 \quad f(x+1,0)=f(x,1)$ ve $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$

eşitliklerini sağlamaktadır.  $f(1,1998)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 1998  \qquad\textbf{b)}\ 1999  \qquad\textbf{c)}\ 2000  \qquad\textbf{d)}\ 2002  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$f(1,a)=g(a)$ olacak şekilde bir fonksiyon tanımlayalım. $g(1998)$'ü hesaplamaya çalışıyoruz. $$g(a+1)=f(1,a+1)=f(0,f(1,a))=f(1,a)+1=g(a)+1$$ elde edilir. $g(a+1)-g(a)=1$ olduğundan $$g(1998)-g(0)=\sum_{k=0}^{1997} \left[g(k+1)-g(k)\right]=1998\implies g(1998)=1998+g(0)$$ olacaktır. $g(0)=f(1,0)=f(0,1)=2$ olduğundan $g(1998)=2000$ elde edilir.