2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 10

[matematikolimpiyati]

$\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{2000}$ denkleminin tamsayılar kümesinde kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 21  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 40$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\sqrt {y} = \sqrt{2000} - \sqrt x$.

$\Rightarrow y = 2000 + x - 2\sqrt {2000x}$

$\Rightarrow 2000 + x - y = \sqrt {8000x} = \sqrt {40^2\cdot 5 \cdot x}$

Sol taraf tam sayı olduğu için sağ taraf da tam sayı olmalıdır. Bu durumda $a$ negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere; $\sqrt x = a \sqrt 5$ formunda olmalı.
Benzer şekilde $\sqrt y = b\sqrt 5$ formunda olacaktır.

Bu durumda sorumuz, $a+b = 20$ eşitliğinin negatif olmayan tam sayılarda çözümü sorusuna dönüşür.
Aradığımız yanıt $\dbinom {20+2-1}{2-1} = 21$ dir.

Not: Doğrudan $a\sqrt 5+b \sqrt 5 = 20 \sqrt 5$ olmalı şeklinde bir çıkarım yapmak hatalı olacaktır. Lokman Hoca'nın Matkafasında bu konu ile ilgili yaptığı açıklama da okunabilir.