2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 08

[matematikolimpiyati]

$\left \{ \begin{array}
yy^2-(x+1)(x^2+4)=0\\
y^2-(4-2x)y+(4-4x-3x^2)=0
\end{array}
\right .$

denklem sisteminin çözüm kümesinde kaç $(x,y)$ reel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{3 ten fazla}$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

İkinci denklem $(y+3x-2)(y-x-2)=0$ şeklinde çarpanlarına ayrılarak yazılabilir.

$y=x+2$ eşitliğini ilk denklemde yerine yazarsak
$(x+2)^2=(x+1)(x^2+4)$
$ \Rightarrow x^2+4x+4 =x^3+x^2+4x+4$
$ \Rightarrow x^3 = 0$
$ \Rightarrow x= 0$

$y=-3x+2$ eşitliğini ilk denklemde yerine yazarsak
$(-3x+2)^2=(x+1)(x^2+4)$
$ \Rightarrow 9x^2-12x+4 =x^3+x^2+4x+4$
$ \Rightarrow x^3 -8x^2 +16x = x(x-4)^2= 0$
$ \Rightarrow x= 0 \quad \text{veya} \quad x = 4$

$(0, 2)$ ve $(4, 10)$ sistemin çözümleridir.