2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 20

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $[AB]$ çaplı çemberin bu çapını kesen bir kirişi $[CD]$, $A$ ve $B$'den $[CD]$ kirişine indirilen dikmelerin ayakları, sırasıyla $E$ ve $F$'dir. $|AE|=16$, $|BF|=14$ ve $|AB|=34$ ise, $|FD|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4(2\sqrt2+1)  \qquad\textbf{b)}\ 3(4\sqrt2+1)  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt7  \qquad\textbf{d)}\ 2(3+\sqrt2)  \qquad\textbf{e)}\ 4(3\sqrt2-2)$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$AE$ ile çember ikinci kez $G$ noktasında kesişsin.
$\angle {AGB}$ çapı gördüğü için $90^\circ$ dir. Bu durumda $CD \parallel BG$ dir. Bu da $BGCD$ kirişler dörtgenini ikizkenar yamuk yapar.
Aynı zamanda $BGEF$ bir dikdörtgendir. $BF=GE=14$, $AG = AE+EG=2\cdot 30$ ve $AB=34 = 2\cdot$ olduğu için Pisagor'dan $BG = 2\cdot 8 = 16$ elde edilir.
$FD=x$ dersek, ikizkenar yamuktan $EC=x$. $E$ noktasının çembere göre kuvvetinden $AE \cdot EG = DE \cdot EC \Rightarrow 14\cdot 16 = x(x+16)$ elde edilir. $x^2 + 16x + 64 = 14\cdot 16 + 4\cdot 16 = 18\cdot 16$ $\Rightarrow x+8 = 12\sqrt 2 \Rightarrow x = 12\sqrt 2 - 8 = 4(3\sqrt 2 - 2)$.