2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$8$ şeker kutusunun her birinde farklı sayıda şeker bulunmaktadır. Bu kutulardan rasgele biri boşaltılıp diğer kutulara uygun biçimde dağıtılınca, diğer $7$ kutunun her birindeki şeker sayısı aynı oluyor. Başlangıçta en çok şeker bulunan kutuda en az kaç şeker olabilir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 28  \qquad\textbf{d)}\ 32  \qquad\textbf{e)}\ 36$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Burada önemli husus "rastgele bir kutunun boşaltılmasıdır", yani kutularda $a_1<a_2<\cdots<a_8$ şeker varsa, herhangi bir $a_i$'yi dağıtarak tüm kutuları eşitleyebilmeliyiz. Eğer $a_1$'i dağıtırsak, $a_8$'e şeker koymazsak bile, $a_i$'ye en az $8-i$ şeker koymalıyız, çünkü tüm kutulardaki şekerler farklıdır. Bu durumda en az $6+5+4+3+2+1=21$ şeker dağıtılmalıdır. $a_1\geq 21$ olması gerektiğinden, $a_2\geq 22$, $a_3\geq 23$ ve böyle devam edilirse $a_8\geq 28$ elde edilir. Eğer şekerleri $21,22,\dots,28$ seçersek istenilen şart sağlanır. Dolayısıyla cevap $28$'dir.