2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$n$ kenarlı bir düzgün (dış bükey) çokgenin bir iç açısının $3$ katı, $m$ kenarlı bir düzgün (dış bükey) çokgenin bir iç açısının $4$ katına eşit ise, $(m+n)$ sayısı aşağıdaki­lerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}\ 49  \qquad\textbf{b)}\ 25  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$n$ kenarlı düzgün çokgenin dış açıları toplamı $360^\circ$ olacağından bir açısı $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$ olacaktır. Benzer şekilde $m$ kenarlının da $180^\circ-\frac{360^\circ}{m}$ olur. Verilen bilgiden, $$3\left(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\right)=4\left(180^\circ-\frac{360^\circ}{m}\right)\implies 3\left(1-\frac{2}{n}\right)=4\left(1-\frac{2}{m}\right)$$ $$\implies 3-\frac{6}{n}=4-\frac{8}{m}\implies \frac{8}{m}-\frac{6}{n}=1\implies 8n-6m=mn$$ $$mn+6m-8n-48=(n+6)(m-8)=-48$$ elde edilir. $n+6>0$ olduğundan $8>m\geq 3$ olmalıdır. Buradan $(m,n)=(4,6),(5,10),(6,18),(7,42)$ çözümleri bulunur. Dolayısıyla $m+n$'nin alabileceği değerler $10,15,24,49$ olacaktır. $m+n$ değeri $25$ olamaz.