2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 16

[matematikolimpiyati]

$x=11^2-12^2+13^2-14^2+15^2-\ ...\ -110^2+111^2$ ise, $x$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 6271  \qquad\textbf{b)}\ 6241  \qquad\textbf{c)}\ 6251  \qquad\textbf{d)}\ 6231  \qquad\textbf{e)}\ 6261$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen toplamda tek terimlerin katsayısı $+$, diğerlerinin $-$'dir. Düzenlersek, $$x=11^2+\sum_{n=6}^{55}(-(2n)^2+(2n+1)^2)=121+\sum_{n=6}^{55}(4n+1)=121+\sum_{k=1}^{50}(4k+21)$$ $$=121+21\cdot 50+4\sum_{k=1}^{50}k=1171+\frac{4\cdot 50\cdot 51}{2}=6271$$ elde edilir.