2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$369$ sayısı birkaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$(n+1) + \dots + (n+k) = 369$

$kn + \dfrac {k(k+1)}{2} = \dfrac {k(2n+k+1)}2 = 369 \Rightarrow k(2n+k+1) = 2\cdot 3^2 \cdot 41$

$2\cdot 3^2 \cdot 41$ sayısının $2\cdot 3 \cdot 2 = 12$ pozitif böleni vardır. $k < 2n+k+1$ olduğu için $k$ bunlardan ilk $6$ tanesine eşit olabilir.

Soruda "birkaç" ifadesi geçtiği için $k=1$ sayılmaz. Bu durumda $k$ nin alabileceği $5$ değer vardır. Bu konuda bir tartışma olmasın diye $6$ sayısı şıklara konmamış olabilir.