2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 13

[matematikolimpiyati]

$m$ ve $n$ sayıları $2000$ sayısının pozitif bölenleri olmak üzere, $(m,n)$ ikililerini düşününüz. Bu ikililerden kaç tanesi için $n$ sayısı $m$'yi tam böler?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 150  \qquad\textbf{c)}\ 100  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 35$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$n\mid m$ ise $m=nk$ olacak şekilde bir $k$ tamsayısı vardır. Ayrıca $nk\mid 2000$ olduğundan $nkt=2000=2^4\cdot 5^3$ olacak şekilde $t$ tamsayısı vardır. Her $(n,k,t)$ üçlüsü için tam olarak bir tane $(m,n)$ çifti vardır. $n=2^{a}\cdot 5^b$, $k=2^{c}\cdot 5^d$ ve $t=2^{e}\cdot 5^f$ diyelim. $$a+c+e=4,\quad \text{ve}\quad b+d+f=3$$ elde edilir. Dağılımdan $$\dbinom{3+3-1}{3-1}\cdot \dbinom{4+3-1}{3-1}=\dbinom{5}{2}\cdot \dbinom{6}{2}=150$$ tane $(m,n)$ üçlüsü bulunur.