2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 12

[matematikolimpiyati]

Şekilde $E$, çemberin $[BD]$ ve $[CA]$ kirişlerinin kesim noktası olup, $|BA|=|AD|$'dir. $|AE|=3$ ve $|EC|=9$ ise, $|AD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 3\sqrt2$

[geo]

Yanıt: $\boxed {A}$

$AB=AD$ ise $\angle ADB = \angle ABD$.
Çevre açıların eşitliğinden $\angle ABD = \angle ACD$.
O halde $\angle ADE = \angle ACD$. (Buradan teğet-kiriş açıların eşitliğinden $AD^2 = AE \cdot AC$ eşitliğine geçebiliriz. Bunu göremiyorsak aşağıdaki gibi devam edebiliriz.)

$\angle EAD = \angle DCA$ olduğu için $(AA)$ benzerliğinden $\triangle ADE \sim \triangle ACD$.
$AE:AD = AD:AC \Rightarrow AE \cdot AC = AD^2 \Rightarrow AD^2 = 3(3+9) = 36 \Rightarrow AD = 6$.