2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 10

[matematikolimpiyati]

$p^3+p^2+11p+2$ ifadesinin asal olmasını sağlayan kaç tane $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Eğer $p=2$ ise ifade çift olur ve asal olmaz. $p=3$ ise $p^3+p^2+11p+2=71$ olur ve istenilen sağlanır. Eğer $p>3$ ise $p^2\equiv 1\pmod{3}$ olur ve $$p^3+p^2+11p+2\equiv p+1+11p+2\equiv 0\pmod{3}\implies p^3+p^2+11p+2=3$$ elde edilir ama bariz bir şekilde $p^3+p^2+11p+2>3$'dir. Sadece $p=3$ sağlar.