2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 06

[matematikolimpiyati]

$318$ sayfalık bir kitabın tüm sayfalarındaki sayfa numaraları kesiliyor; sonra her sayfa numarasının bulunduğu parça, her bir parçada bir rakam bulunacak şekilde kesilerek küçük parçalara ayrılıp, bu küçük parçalar bir torbaya dolduruluyor ve torbadan rasgele bir parça çekiliyor. Çekilen parçadaki rakamın $1$ olma olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{16}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{98}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{19}{94}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{23}{92}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Torbadaki parça sayısı $9\cdot 1+9\cdot 10\cdot 2+2\cdot 10\cdot 10\cdot 3+19\cdot 3=846$'dır. Basitçe bir basamaklı, iki basamaklı ve üç basamaklı kaç tane sayı olduğuna bakıp, basamak sayısıyla çarptık. Şimdi de $1$ gelebilecek yerlere bakalım. $299$'a kadar olan sayılar için $X,Y\neq 1$ için $1$, $11$, $111$, $1X$, $X1$, $1XY$, $21X$, $2X1$, $11X$, $1X1$, $211$ formatındaki sayılarda $1$ vardır. Her birindeki $1$ sayısını ve $X,Y$'nin alabileceği değerleri düşünürsek, $$1+2+3+9+8+9\cdot 9+9+9+2\cdot 9+2\cdot 9+2=160$$ tane $1$ vardır. $300$'den sonra ise sadece $301,310,311,312,313,314,315,316,317,318$ sayılarında $1$ vardır ve $11$ tane $1$ de buradan gelir. Toplamda $170$ tane $1$ vardır. Olasılık da $$\frac{171}{846}=\frac{19}{94}$$ bulunur.