2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 04

[matematikolimpiyati]

$5,10,15,...,995,1000$ aritmetik dizisinin tüm terimlerinin çarpımı olan sayının sondan kaç basamağında sıfır bulunur?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 199  \qquad\textbf{c)}\ 198  \qquad\textbf{d)}\ 197  \qquad\textbf{e)}\ 196$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen dizide $\frac{1000}{5}=200$ tane sayı vardır. Dolayısıyla verilen sayıların çarpımı $5^{200}\cdot 200!$'dir. $200!$ içinde kaç tane $2$ çarpanı olduğuna bakalım. $$\left\lfloor \frac{200}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{200}{2^2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{200}{2^3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{200}{2^4}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{200}{2^5}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{200}{2^6}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{200}{2^7}\right\rfloor+\cdots=100+50+25+12+6+3+1=197$$ olduğundan $197$ tane $2$ çarpanı vardır. $200$'den fazla $5$ çarpanı olduğundan $197$ tane $10$ çarpanı olacaktır. Yani sondan $197$ basamak $0$'dır.