1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 20

[matematikolimpiyati]

Reel sayıların bir geometrik dizisinde ilk iki terimin toplamı $7$ ve ilk altı terimin toplamı da $91$'dir. İlk dört terimin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 25  \qquad\textbf{b)}\ 28  \qquad\textbf{c)}\ 32  \qquad\textbf{d)}\ 35  \qquad\textbf{e)}\ 49$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Dizinin ilk terimi $a$, ortak çarpanı $q$ olsun. Bu durumda verilenlerden, $$a+aq=a(q+1)=7$$ $$a+aq+aq^2+aq^3+aq^4+aq^5=\frac{a(q^6-1)}{q-1}=91$$ elde edilir. $a$ yerine $\frac{7}{q+1}$ yazarsak, $$\frac{q^6-1}{(q-1)(q+1)}=13\implies \frac{(q^2-1)(q^4+q^2+1)}{q^2-1}=q^4+q^2+1=13$$ $$\implies q^4+q^2-12=(q^2+4)(q^2-3)=0$$ elde edilir. Dolayısıyla $q^2=3$ elde edilir (Ekstra $q^2=1$, yani $q=\pm 1$ durumunu da incelemeliyiz ancak sağlamadığı kolaylıkla görülebilir).

İlk dört terimi toplarsak, $$a+aq+aq^2+aq^3=a+aq+3a+3aq=4a(q+1)=28$$ elde edilir.