1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 11

[matematikolimpiyati]

$A$ açısı dik olan $ABC$ üçgeninde $[AH]$ yüksekliği çizilmiştir. $ABH$ üçgeninin içteğet çemberinin alanı $S_1,$  $AHC$ üçgeninin içteğet çemberinin alanı $S_2,$  $|AB|=c,$  $|AC|=b,$  $|BH|=p$ ve $|HC|=k$ ise$,$  $\dfrac{S_2}{S_1}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{b^2}{c^2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{k^2}{p^2}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{\dfrac pk}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{bp}{ck}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{bk}{cp}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$ABH$ ve $AHC$ üçgenlerinin içteğet yarıçapları sırasıyla $r_1$ ve $r_2$ olsun. $\frac{S_2}{S_1}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$'dir. Ayrıca, dik bir üçgende dik kenarlar $m,n$ ve hipotenüs $k$ ise içteğet yarıçapı $r=\frac{m+n-k}{2}$'dir. Bunun ispatı için çemberin çizilip, kenarları kaçar kaçar böldüğüne bakılması yeterlidir.

Öklid teoreminden $|AH|=\sqrt{pk}$, $c=\sqrt{p(p+k)}$ ve $b=\sqrt{k(p+k)}$ olduğunu biliyoruz. İçteğet yarıçapları, $$r_1=\frac{p+\sqrt{pk}-c}{2}=\frac{p+\sqrt{pk}-\sqrt{p(p+k)}}{2}=\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p}+\sqrt{k}-\sqrt{p+k})}{2}$$ $$r_2=\frac{k+\sqrt{pk}-b}{2}=\frac{k+\sqrt{pk}-\sqrt{k(p+k)}}{2}=\frac{\sqrt{k}(\sqrt{p}+\sqrt{k}-\sqrt{p+k})}{2}$$ bulunur. Buradan $$\frac{S_2}{S_1}=\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{k}{p}=\frac{k(p+k)}{p(p+k)}=\frac{b^2}{c^2}$$ elde edilir.

[geo]

$\triangle AHC \sim \triangle BHA$ dır. Dolayısıyla içteğet çemberlerin alanları oranı benzerlik oranının karesi olacaktır. O halde aradığımız yanıt $\left ( \dfrac{AC}{BA} \right )^2 = \dfrac {b^2}{c^2}$ dir.