1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 09

[matematikolimpiyati]

Her üçü de sıfırdan farklı $x(y-z),\ y(z-x),\ z(x-y)$ sayıları bir geometrik dizi oluşturmaktadır. Dizi çarpanı $q$ ise$,\ q$ aşağıdaki denklemlerden hangisini sağlar?

$\textbf{a)}\ q^4+q^2-1=0  \qquad\textbf{b)}\ q^4-q^2+1=0  \qquad\textbf{c)}\ q^2+q-1=0 \\ \textbf{d)}\ q^2-q+1=0  \ \ \qquad\textbf{e)}\ q^2+q+1=0$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Terimler $0$'dan farklı olmasından dolayı, $a\neq 0$ olmak üzere, terimleri $a,aq,aq^2$ olarak yazabiliriz. $$x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)=0$$ olduğundan $a+aq+aq^2=a(1+q+q^2)=0$ olacaktır. $a\neq 0$ olduğundan $q^2+q+1=0$'dır.