1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 07

[matematikolimpiyati]

Şekilde $ABCD,\ DCEF,\ FEKL$ kareler ise$,$  $\alpha + \beta$ neye eşittir?

$\textbf{a)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 36^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 50^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 60^{\circ}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{C}$

$AEB$ üçgeninden $\tan \alpha =\dfrac12$ ve $AKB$ üçgeninden $\tan \beta = \dfrac13$ yazabiliriz. Tanjant toplam formülünü kullanarak:

$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta} =\dfrac{\dfrac12 + \dfrac13}{1-\dfrac12 \cdot \dfrac13} = \dfrac{\dfrac56}{\dfrac56}=1$ ve buradan da $\alpha + \beta = 45^{\circ}$ elde etmiş oluruz.

[geo]

Bu klasik soru, Proof without words ayarında bir çözüme sahip.

$AK=\sqrt {10}$, $AH=\sqrt 5$, $KH=\sqrt 5$. O halde, $\triangle HAK$ bir ikizkenar dik üçgen ve $\angle HKA = 45^\circ$.
$\angle HKC = \angle BEA = \alpha$ olduğu için $\alpha + \beta = \angle HKA = 45^\circ$ dir.