1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 03

[matematikolimpiyati]

$2x^2-3x=2x\sqrt{x^2-3x}+1$ denkleminin kaç reel çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{sonsuz}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$\sqrt{x^2-3x}=y\geq 0$ diyelim. Bu durumda $$x^2+y^2=2xy+1\implies (x-y)^2=1$$ elde edilir. Yani $x-y=1$ veya $x-y=-1$'dir.

$y=x-1$ ise $y^2=x^2-3x=(x-1)^2=x^2-2x+1$ elde edilir. Buradan $x=-1$  ve $y=-2$ elde edilir ancak tanım gereği $y\geq 0$ olmalıdır. Çözüm yoktur.

$y=x+1$ ise $y^2=x^2-3x=(x+1)^2=x^2+2x+1$ elde edilir. Buradan $x=\frac{1}{5}$ ve $y=\frac{6}{5}$ elde edilir. Eşitlik sağlanır. Dolayısıyla tek çözüm $x=\frac{1}{5}$'dir.