1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 13

[matematikolimpiyati]

$101 \cdot 102 \cdot 103 \cdot \ ...\ \cdot 300=7^k \cdot n,\ (k,n \in \mathbb N)$ eşitliğini sağlayan en büyük $k$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 26  \qquad\textbf{b)}\ 29  \qquad\textbf{c)}\ 30  \qquad\textbf{d)}\ 31  \qquad\textbf{e)}\ 32$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Verilen ifadeyi $\frac{300!}{100!}$ olarak yazalım. $300!$ içerisinde $$\left\lfloor \frac{300}{7}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{300}{7^2}\right\rfloor+\cdots=42+6+0+0+\cdots=48$$ tane $7$ çarpanı vardır. $100!$ içerisinde ise $$\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{7^2}\right\rfloor+\cdots=14+2+0+0+\cdots=16$$ tane $7$ çarpanı vardır. Dolayısıyla verilen sayıda tam olarak $48-16=32$ tane $7$ çarpanı vardır, $k$ en fazla $32$ olabilir.