1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 12

[matematikolimpiyati]

$x^2+y^2=x^3$ denklemini sağlayan $(x,y)$ doğal sayı ikililerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$y^2 = x^2(x-1)$ olduğundan, $x-1$ sayısı da bir doğal sayının karesine eşit olmalıdır. Böylece $x = n^2 + 1$ bulunur ve $n$ doğal sayısı keyfi olarak değer alabilir. Yani, verilen denklemi sağlayan sonsuz çoklukta $(x,y)$ doğal sayı ikilisi bulunur.