1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 11

[matematikolimpiyati]

$x^2+ax+3a=0$ denkleminin kökleri tamsayı ise, $a$ reel sayısının alabileceği değerler sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Denklemin kökleri $m,n$ tam sayıları olsun. Vieta formüllerinden $m+n=-a$ ve $mn= 3a$ olup $a$ bir tam sayı olmalıdır. Bu durumda denklemin diskriminantı tam kare olmalıdır. $\Delta = a^2 - 4\cdot 3a = b^2$ diyelim. Burada $b\geq 0$ bir tam sayıdır. $a^2 - 12a +36 = b^2 + 36 \implies (a-6)^2 - b^2 = 36$ elde edilir. İki kare farkından, $(a+b-6)(a-b-6)=36$ olup şu durumları inceleriz:
\begin{align}
\begin{cases}
a+b-6 &= 18 \\
a-b-6 &= 2
\end{cases}

\qquad

\begin{cases}
a+b-6 &= 6 \\
a-b-6 &= 6
\end{cases}

\qquad

\begin{cases}
a+b-6 &= -6 \\
a-b-6 &= -6
\end{cases}

\qquad

\begin{cases}
a+b-6 &= -2 \\
a-b-6 &= -18
\end{cases}

\end{align}

Bu denklemlerden sırasıyla $(a,b) = (16,8), (12, 0), (0,0), (-4,8)$ çözümleri bulunur. Bunları ikinci dereceden denklemde yazarak kontrol edelim.

$a=16$ için $x^2 + 16x + 48 = (x+6)(x+8) = 0 \implies$ $m=-6, n= -8$.
$a=12$ için $x^2 + 12x + 36 = (x+6)(x+6) = 0 \implies$ $m= n= -6$.
$a=0$ için $x^2 = 0 \implies$ $m = n= 0$.
$a=-4$ için $x^2 - 4x -12 = (x-6)(x+2) = 0 \implies$ $m=6, n= 2$.

Yani $a$ nın $4$ değeri vardır.