1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 06

[matematikolimpiyati]

$[a]$ ile $a$ reel sayısının tam kısmı gösterildiğine göre $x-\left[ x \right]=[(0,5)x-2]$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{C}$

$x-\left[ x \right]=[(0,5)x-2] \implies x=\left[ x \right] + [(0,5)x-2]$. Eşitliğin sağ tarafında iki tane tam sayı olduğu için $x$ de tam sayı olmalıdır.

Dolayısıyla $\left[ x \right] =x$ dir. Buradan da $[(0,5)x-2] =0$ elde ederiz.

Tam değer eşitsizliğini kullanarak

$0 \leq (0,5)x-2 <1 \implies 2 \leq (0,5)x <3 \implies 4 \leq x <6$ buluruz. $x$ tam sayı olması gerektiği için denklemin çözüm kümesi $\{4,5\}$'tir.