1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 01

[matematikolimpiyati]

$T=1!+2!+3!+ ... +1997!+1998!$ toplamının son iki basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$10!$ sayısının son iki basamağı $00$ şeklinde olduğundan, toplamın bundan sonraki diğer terimlerinde de son iki basamak $00$ şeklindedir. O halde $1! + 2! + 3! + \cdots + 9!$ toplamı ile ilgilenmeliyiz. İncelersek,

$$ T \equiv 01 + 02 + 06 + 24 + 20 + 20 + 40 + 20 + 80  \equiv 13 \pmod{100}$$
olur. Son iki basamak $13$ olup bu rakamların toplamı $1+3=4$ bulunur.