1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

                                         

$ABCD$ karesinde $P$ noktası $[BC]$ kenarı üzerinde ve $E$ noktası da $[CD]$ kenarı üzerinde$,$

                                  $m(\hat{BAP})=m(\hat{PAE})= \alpha$                                   

olacak biçimde seçilmiştir. $|BP|=x,\ |DE|=y$  ise$,$ $|AE|$ ' nin eşiti nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \left( \dfrac{x}{\sin{\alpha}}+\dfrac{y}{\cos{\alpha}} \right)  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{x^2+y^2} \sin{\alpha}  \qquad\textbf{c)}\ x+y  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{x+y+|x-y|}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Açı yazarsak $m(\widehat{AED})=2\alpha$ olur. $BPA$ üçgenini $A$ köşesi etrafında döndürüp $AB$ ile $AD$ çakışacak şekilde yer değiştirelim. Yeni üçgene $ADP'$ diyelim. $m(\widehat{EAD})=90^\circ-2\alpha$ olduğundan $m(\widehat{EAP'})=90^\circ-\alpha$ olacaktır. Yani $AEP'$ ikizkenar üçgen olacaktır. Buradan $|AE|=|EP'|=x+y$ elde edilir.