1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $[AB]$ doğru parçası, $O$ merkezli ve $r$ yarıçaplı çemberin çapıdır. $P$ merkezli ve $s$ yarıçaplı çember, $r$ yarıçaplı çembere teğettir ve $[AB]$ ' ye de $O$ noktasında teğettir. $N$ merkezli ve $t$ yarıçaplı çember ise daha önce sözü edilen iki çembere ve $[AB]$ doğru parçasına teğettir. $r$ yarıçaplı dairenin alanı $t$ yarıçaplı dairenin alanının kaç katıdır?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$ON$ doğrusu en küçük çemberin, en büyük çembere teğet olduğu noktadan geçeceğinden $|ON|=r-t$'dir. $|PN|=s+t$, $|OP|=s$'dir. $2s$ de $O$ merkezli çemberin yarıçapı olduğundan $s=\frac{r}{2}$'dir. $N$ merkezli çemberin $AB$'ye teğet olduğu noktaya $X$ dersek, $ONX$ üçgeninde pisagordan, $$|OX|^2=(r-t)^2-t^2$$ olacaktır. $N$'den $OP$'ye inilen dikmenin ayağı $Y$ olsun. $|NY|$ uzunluğu da $|OX|$ ile aynı olacağından $NPY$ üçgeninde pisagordan, $$|NY|^2=|OX|^2=(s+t)^2-(s-t)^2\implies (s+t)^2-(s-t)^2=4st=2rt=(r-t)^2-t^2$$ $$\implies 2rt=r^2-2rt\implies 4t=r$$ elde edilir. Yarıçapı $4$ katı olduğundan $r$ yarıçaplı çemberin alanı, $t$ yarıçaplı çemberin alanının $16$ katı olacaktır.