1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$A=1-x+2x^2-3x^3+...-19x^{19}+20x^{20}$ ve $B=1+x+2x^2+3x^3+...+19x^{19}+20x^{20}$ veriliyor. $A \cdot B$ ifadesinden, parantezler açıldıktan sonra elde edilen polinomda $x^{19}$ ' un önündeki katsayı ne olur?

$\textbf{a)}\ 19  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ -1+2-3+...+18-19  \qquad\textbf{e)}\ -19!$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$f(x)=1+x+2x^2+\cdots+19x^{19}+20x^{20}$ diyelim. Bu durumda $A=f(-x)$ ve $B=f(x)$ olacaktır. $Q(x)=AB=f(x)f(-x)$ fonksiyonuna bakalım. $Q(-x)=f(-x)f(x)=Q(x)$ olduğundan $Q$ polinomu çift fonksiyondur. Buradan $x^{19}$'un katsayısı $0$ bulunur.