1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$1 \leq x \leq 1000$ , $1 \leq y \leq 1000$ olmak üzere, $x^2+y^2$ sayısı $49$ ile bölünecek biçimde kaç tane $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 30416  \qquad\textbf{b)}\ 20164  \qquad\textbf{c)}\ 10153  \qquad\textbf{d)}\ 400  \qquad\textbf{e)}\ 142$

[taftazani44]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\mod 7$ içinde, $x^{2}\equiv 0,1,2,4$ olduğundan $x^{2}+y^{2} \equiv 0+0 \equiv 0 \pmod{7}$ dir. Yani $1\leq x\leq 1000, 1\leq y\leq 1000$ için $x^{2}+y^{2} \equiv 0   \pmod{49}$ olması $ 7\mid x , 7\mid y$ olmasını gerektirir. Verilen aralıkta $7$ nin katı olan $142$ tane sayı olduğu için $(x,y)$ ikililerinin sayısı $142 \cdot 142 = 20164$ olur.