1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$1$ ' den $m$ X $n$ ' ye kadar olan doğal sayılar, $m$ satırı ve $n$ sütunu olan bir tabloya (matrise), birinci satırdan başlanarak artan sıra ile yazılmıştır. $20$ sayısı üçüncü satırda, $41$ sayısı beşinci satırda ve $103$ sayısı sonuncu satırda yazılmışsa, $m+n$ toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 17  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 19  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 21$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$k.$ satırda bulunan $x$ sayısı $(k-1)n<x\leq kn$ şartını sağlamalıdır. Buradan $$2n<20\leq 3n$$ $$4n<41\leq 5n$$ $$(m-1)n<103\leq mn$$ bilgilerini elde ederiz. İlk eşitsizlikle $n$'yi sınırlarsak $6.\overline{6}\leq n<10$ eşitsizliğini, ikinci eşitsizlikle $8.2\leq n<10.25$ eşitsizliğini elde ederiz. Buradan da $n=9$ sonucuna varırız. Son eşitsizlikte ise $$9(m-1)<103\leq 9m\implies \frac{103}{9}=11.\overline{4}\leq m<\frac{112}{9}=12.\overline{4}\implies m=12$$ Dolayısıyla $m+n=12+9=21$ olur.