Not 2. Problemin verilenlerine göre, hesaplanan nokta üçlülerinin hepsinin ortak bir noktası olması gibi bir zorunluluk yoktur. Sunulan çözümden anlıyoruz ki, test mantığı ile çözülmesi amaçlanmış bir problemdir. Cevabın $4950$ den daha büyük olamayacağı da ispatlanabilirse, daha öğretici olacaktır.
Aksini varsayalım, $4950$'den fazla nokta üçlüsünün istenileni sağladığını varsayalım. Bu durumda tüm üçlülerde bulunan ortak bir nokta yoktur. En fazla bulunan noktayı $1$ numaralı nokta olarak gösterelim. Diğer noktaları da $1,2,\dots, 101$ olarak isimlendirelim. $1$'i içermeyen en az bir üçlü vardır. Bunlar bir tanesini alalım, genelliği bozmadan bu üçlü $(2,3,4)$ olsun. Üç durumda inceleyeceğim, bu durumların bazı kısımlarını birleştirip daha kısa bir çözüm yazılabilir ama ispatı daha kompleks hale getireceğini düşündüğümden daha sade ilerlemeyi uygun gördüm.
İlk durum: $(2,3,4)$ dışında $1$'yı içermeyen bir üçlünün olmama durumu. En az $4951$ nokta üçlüsü olduğunu kabul ettiğimizden ve $1$'i içeren en fazla $4950$ nokta üçlüsü olduğundan tam olarak $4950$ nokta üçlüsünde $1$ olup, diğer üçlü de $(2,3,4)$ olmalıdır. Ancak bu durumda $(1,5,6)$ ve $(2,3,4)$'ün ortak noktasının olmaması çelişki yaratır ($4950$ nokta üçlüsünün olması için $1$'in yanında her nokta ikilisini eklemeliyiz).
İkinci durum: $(2,3,4)$ ile sadece bir ortak noktası olan ve $1$'i içermeyen bir üçlünün olması durumu. Bu durumda bu üçlüyü genelliği bozmadan $(2,5,6)$ olarak kabul edebiliriz. $1$'i içeren nokta üçlüleriyle $(2,3,4)$'ün ortak noktası olması için $1$'i içeren her üçlünün ya $(1,2)$'i, ya $(1,3)$'ü, ya da $(1,4)$'ü içermesi gerekir. $(1,2)$ içeren noktalarda sorun yoktur ama $(1,3)$ ve $(1,4)$'ü içerenlerin $(2,5,6)$ ile ortak nokta içermesi için bu noktaların $(1,3,5)$, $(1,3,6)$, $(1,4,5)$ veya $(1,4,6)$ olması gerekir. Bu durumda $1$'i içeren en fazla $103$ nokta üçlüsü olabilir (en fazla $99$ tane $(1,2)$ içeren ve $4$ adet diğer durum). En fazla $1$ kullanıldığından, toplamda en fazla $103\cdot 101$ tane nokta kullanılabilir. Bu durumda da nokta üçlüsü sayısı $\frac{103\cdot 101}{3}<4950$ olacaktır. Bu bir çelişkidir.
Üçüncü durum: Birinci ve ikinci durumun sağlanmaması hali. Bu durumda $1$'i içermeyen tüm noktalar $X\neq 1,2,3,4$ için $(2,3,4)$, $(2,3,X)$, $(2,X,4)$ ve $(X,3,4)$ şeklindedir. Bu formatta en fazla $1+3\cdot (101-4)=292$ adet üçlü vardır. $1$'i içeren tüm nokta üçlülerinin $2,3,4$'den birini içermesi gerektiğinden en fazla $3\cdot 99=297$ üçlüde $1$ bulunabilir. Bu durumda toplam nokta üçlüsü sayısı bariz bir şekilde $4950$'den az olacaktır.
Üç durumda da çelişki bulduğumuzdan en fazla $4950$ nokta üçlüsü seçilebilir.
Not: İspatta toplam nokta sayısı $4950$'den çok az çıkacağından tekrar tekrar sayılan durumları hesaplayıp çıkartmakla uğraşmadım. Buna rağmen sayı az kaldı. Ayrıca $(1,3)$ ve $(1,4)$ içerenlerde $(1,2,3)$ ve $(1,2,4)$ üçlülerini almama sebebim onları zaten $(1,2)$ içeren üçlülerde saymış olmamız.
