2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

20.1
$P,$ baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden bir polinom ve $P$ polinomunun kökleri $a,b$ ve $c$ olmak üzere, $P(1)=6$ ve $P(-1)=-14$ eşitlikleri varsa,

$\dfrac{ab+bc+ca}{abc+a+b+c}$

ifadesinin değerinin $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 7$

[taftazani44]

$\begin{aligned}p\left( x\right) =\left( x-a\right) \left( x-b\right) \left( x-c\right) = x^{3}-\left( a+b+c\right) x^{2}+( ab+ bc+ac) x-abc\end{aligned}$

$\begin{aligned}p\left( 1\right) +p\left( -1\right) =-2\left( a+b+c\right) -2abc =-8\\ a+b+c+abc=4\end{aligned}$

$\begin{aligned}p\left( 1\right) -p\left( -1\right) =2+2\left( ab+ac+bc\right) =20\\ ab+ac+bc=9\end{aligned}$
$\begin{aligned}\dfrac{ab+bc+ac}{abc+a+b+c}=\dfrac{9}{4}\\ 4\cdot \dfrac{9}{4}=9\end{aligned}$
Bulunur