2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

10.1
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+6$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-6$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -36  \qquad\textbf{b)}\ -12  \qquad\textbf{c)}\ -26  \qquad\textbf{d)}\ -18  \qquad\textbf{e)}\ -24$

10.2
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+8$ polinomu $(x-2)^2 $'ne, $P(x)-8$ polinomu da $(x+2)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -24  \qquad\textbf{b)}\ -30  \qquad\textbf{c)}\ -14  \qquad\textbf{d)}\ -15  \qquad\textbf{e)}\ -16$

10.3
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+6$ polinomu $(x-2)^2 $'ne, $P(x)-6$ polinomu da $(x+2)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $2$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -9  \qquad\textbf{b)}\ -12  \qquad\textbf{c)}\ -7  \qquad\textbf{d)}\ -3  \qquad\textbf{e)}\ 5$

10.4
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+4$ polinomu $(x-2)^2 $'ne, $P(x)-4$ polinomu da $(x+2)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -12  \qquad\textbf{b)}\ -13  \qquad\textbf{c)}\ -14  \qquad\textbf{d)}\ -15  \qquad\textbf{e)}\ -11$

10.5
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+1$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-1$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -6  \qquad\textbf{b)}\ -9  \qquad\textbf{c)}\ -3  \qquad\textbf{d)}\ -12  \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.6
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+5$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-5$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -30  \qquad\textbf{b)}\ -12  \qquad\textbf{c)}\ -18  \qquad\textbf{d)}\ -24  \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.7
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+2$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-2$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -12  \qquad\textbf{b)}\ -24  \qquad\textbf{c)}\ -18  \qquad\textbf{d)}\ -16  \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.8
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+3$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-3$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -18  \qquad\textbf{b)}\ -12  \qquad\textbf{c)}\ -24  \qquad\textbf{d)}\ -16  \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.9
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+4$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-4$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -24  \qquad\textbf{b)}\ -12  \qquad\textbf{c)}\ -18  \qquad\textbf{d)}\ -16  \qquad\textbf{e)}\ -15$

[taftazani44]

$\begin{aligned}p\left( x\right) =ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ p\left( x\right) +6=ax^{3}+bx^{2}+cx+d+6\\ p\left( x\right) -6=ax^{3}+bx^{2}+cx+d-6\end{aligned}$
$p'\left( x\right) +0=3ax^{2}+2bx+c$
Şeklinde alalım.
$\begin{aligned}p\left( 1\right) +6=0\\ p\left( -1\right) -6=0\\ p'\left( 1\right) =0\\ p'\left( -1\right) =0\end{aligned}$

$\begin{aligned}p'\left( 1\right) =3a+2b+c=0\\ p'\left( -1\right) =3a-2b+c=0\\ p\left( 1\right) =a+b+c+d=-6\\ p\left( -1\right) =-a+b-c+d=6\end{aligned}$
$\begin{aligned}3a+c=0\\ \dfrac{a+c=-6}{-2c=18}\\ c=-9\\ 4c=-36\end{aligned}$
Olur.