2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21

[matematikolimpiyati]

21.1
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1010$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 10$

21.2
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1212$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 13$

21.3
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=909$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 10$

21.4
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=808$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.5
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=707$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.6
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=606$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.7
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=505$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.8
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=404$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.9
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1111$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[taftazani44]

$\begin{aligned}p\left( x\right) =a[ x\left( x-1\right) \left( x-2\right) \ldots \left( x-100\right) +\dfrac{x}{a}] \end{aligned}$
Alalım.bu polinom p(0)=0,p(1)=1,...,p(100)=100 eşitliklerini sağlar.
x=101 için
$\begin{aligned}P\left( 101\right) =a[ 101\cdot 100.99\ldots 1+\dfrac{101}{a}] =1010\end{aligned}$
Eşitliği sağlanır.


$\begin{aligned}a\cdot 101!+101=1010\\ a101!=1010-101\\ a=\dfrac{9\cdot 101}{101!}\\ a=\dfrac{9}{100!}\end{aligned}$
Böylece a nın 100! Katı 9 bulunur.