2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[matematikolimpiyati]

23.1
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{36}$ sayısının $37$ 'ye bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 28  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 19  \qquad\textbf{d)}\ 17  \qquad\textbf{e)}\ 16$

23.2
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{30}$ sayısının $31$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 22  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 9$

23.3
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{52}$ sayısının $53$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 44  \qquad\textbf{b)}\ 40  \qquad\textbf{c)}\ 31  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 29$

23.4
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{100}$ sayısının $101$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 92  \qquad\textbf{b)}\ 78  \qquad\textbf{c)}\ 89  \qquad\textbf{d)}\ 88  \qquad\textbf{e)}\ 87$

23.5
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{70}$ sayısının $71$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 62  \qquad\textbf{b)}\ 58  \qquad\textbf{c)}\ 53  \qquad\textbf{d)}\ 52  \qquad\textbf{e)}\ 51$

23.6
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{60}$ sayısının $61$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 52  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 43  \qquad\textbf{d)}\ 41  \qquad\textbf{e)}\ 42$

23.7
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{46}$ sayısının $47$ 'ye bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 38  \qquad\textbf{b)}\ 34  \qquad\textbf{c)}\ 29  \qquad\textbf{d)}\ 28  \qquad\textbf{e)}\ 27$

23.8
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{22}$ sayısının $23$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 3$

23.9
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi  $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{40}$ sayısının $41$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 32  \qquad\textbf{b)}\ 28  \qquad\textbf{c)}\ 23  \qquad\textbf{d)}\ 22  \qquad\textbf{e)}\ 21$

[taftazani44]

$\begin{aligned}x_{1}=11\\ x_{2}=2x_{1}-1\\ x_{3}=3x_{2}-2\\ \vdots \end{aligned}$

$\begin{aligned}x_{2}=2\cdot 11-1= 2!11-2!+1=10\cdot 2!+1\end{aligned}$
$\begin{aligned}x_{3}=3x_{2}-2 =3\left( 2!10+1\right) -2=3!10+3-2 =3!10+1\end{aligned}$

$\begin{aligned}x_{4}=4x_{3}-3=4\left( 3!10+1\right) -3=4!10+4-3=4!10+1\end{aligned}$
Bu durumda
$\begin{aligned} x_{36}=36!10+1 \end{aligned}$ yazılabilir.Wilson teoreminden
$ \begin{aligned} 36!\equiv -1\end{aligned}$
yazılırsa

$\begin{aligned}\equiv -1.10+1\equiv  -9\equiv 28 \pmod{37} \end{aligned}$ olur.