2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[matematikolimpiyati]

22.1
$(a+b-c-d+e)^7$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 170  \qquad\textbf{b)}\ 110  \qquad\textbf{c)}\ 255  \qquad\textbf{d)}\ 266  \qquad\textbf{e)}\ 192$

22.2
$(a+b-c-d+e)^5$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 66  \qquad\textbf{b)}\ 72  \qquad\textbf{c)}\ 80  \qquad\textbf{d)}\ 84  \qquad\textbf{e)}\ 120$

22.3
$(a+b-c-d+e)^8$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 255  \qquad\textbf{b)}\ 250  \qquad\textbf{c)}\ 248  \qquad\textbf{d)}\ 216  \qquad\textbf{e)}\ 272$

22.4
$(a+b-c-d+e+f)^5$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 136  \qquad\textbf{b)}\ 144  \qquad\textbf{c)}\ 148  \qquad\textbf{d)}\ 120  \qquad\textbf{e)}\ 142$

22.5
$(a+b-c-d+e+f)^6$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 246  \qquad\textbf{b)}\ 250  \qquad\textbf{c)}\ 248  \qquad\textbf{d)}\ 216  \qquad\textbf{e)}\ 272$

22.6
$(a+b-c-d+e+f)^4$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 70  \qquad\textbf{b)}\ 76  \qquad\textbf{c)}\ 84  \qquad\textbf{d)}\ 128  \qquad\textbf{e)}\ 96$

22.7
$(a+b-c-d+e+f+g)^4$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 120  \qquad\textbf{b)}\ 84  \qquad\textbf{c)}\ 128  \qquad\textbf{d)}\ 112  \qquad\textbf{e)}\ 96$

22.8
$(a+b-c-d+e+f+g)^3$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 50  \qquad\textbf{b)}\ 72  \qquad\textbf{c)}\ 84  \qquad\textbf{d)}\ 56  \qquad\textbf{e)}\ 68$

22.9
$(a+b-c-d+e)^6$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 110  \qquad\textbf{b)}\ 170  \qquad\textbf{c)}\ 255  \qquad\textbf{d)}\ 266  \qquad\textbf{e)}\ 84$

[taftazani44]

$\left[ \left( a+b+e\right) -\left( c+d\right) \right] ^{7}$ açılımında -(c+d) nin çift üslernde pozitif terimler gelir.Gelen terimlerin hepsi farklıdır.Bu terimler aşağıdaki gibidir.

\begin{aligned}\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}\left( a+b+e\right) ^{7}+\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}\left( a+b+e\right) ^{5}\cdot \left( c+d\right) ^{2}+\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}\left( a+b+e\right) ^{3}\left( c+d\right) ^{4}+\begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}\left( a+b+c\right) \left( c+d\right) ^{6}\end{aligned}

$\begin{aligned}\left( a+b+e\right) ^{7}\\ \left( a+b+e\right) ^{5}\left( c+d\right) ^{2}\\ \left( a+b+e\right) ^{3}\left( c+d\right) ^{4}\\ \left( a+b+e\right) \left( c+d\right) ^{6}\end{aligned}$
Yukarıdaki açılımlardan sırasıyla;
$\begin{aligned}\left( 8+7+\ldots +1\right) =36\\ \left( \cdot 6+5+\ldots +1\right) \left( 3\right) =63\\ \left( 4+3+2+1\right) \left( 5\right) =50\\ \left( 2+1\right) \cdot \left( 7\right) =21\end{aligned}$
Olmak üzere toplam 170 tane pozitif terim bulunur.