1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$1001$ ile aralarında asal olan üç basamaklı bir sayının $12$ pozitif böleni vardır. Bu sayının yan-yana yazılmasıyla elde edilen altı basamaklı sayının kaç pozitif böleni olacaktır?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 36  \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 96$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Sayımız $abc$ olsun. $1001$ ile aralarında asal olduğunu biliyoruz. $$abcabc=abc000+abc=abc\cdot 1001$$ olacaktır. Pozitif bölen sayısını veren fonksiyon çarpımsaldır (multiplicative). Yani $m,n$ aralarında asal ise $v(mn)=v(m)v(n)$ şartını sağlayan bir fonksiyondur. Yeni sayının pozitif bölenlerinin sayısı $$v(1001\cdot abc)=v(1001)v(abc)=8\cdot 12=96$$ olarak elde edilir.