2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 24

[matematikolimpiyati]

24.1
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{9a}{b+c}+\dfrac{16b}{a+c}+\dfrac{49c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 25  \qquad\textbf{c)}\ 26  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ 23$

24.2
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{9a}{b+c}+\dfrac{16b}{a+c}+\dfrac{25c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 22  \qquad\textbf{b)}\ 21  \qquad\textbf{c)}\ 23  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 25$

24.3
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{25b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 1$

24.4
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{25b}{a+c}+\dfrac{49c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 19  \qquad\textbf{c)}\ 21  \qquad\textbf{d)}\ 22  \qquad\textbf{e)}\ 23$

24.5
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{25b}{a+c}+\dfrac{36c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 9$

24.6
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{25a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 7$

24.7
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{25c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 14$

24.8
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 9$

24.9
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{9c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 13$

[taftazani44]

$\begin{aligned}S+9+16+49=\dfrac{9a}{b+c}+9+\dfrac{16b}{a+c}+16+\dfrac{49c}{a+b}+49\end{aligned}$

$\begin{aligned}=\left( a+b+c\right) ( \dfrac{9}{b+c}+\dfrac{16}{a+c}+\dfrac{49}{a+b}) \end{aligned}$
Faydalı eşitsizlikten

$\begin{aligned}\dfrac{9}{b+c}+\dfrac{16}{a+c}+\dfrac{49}{a+b}\geq
\dfrac{\left( 3+4+7\right) ^{2}}{2\left( a+b+c\right) }  \end{aligned}$ ifadesi bulunur.Bu ifade yerine yazılırsa

$\begin{aligned}S+74\geq \left( a+b+c\right) (\dfrac{14^{2}}{2\left( a+b+c\right) }\end{aligned}$
$S\geq 24$
Bulunur.