2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

19.1
$x^2+2x$ ve $x^3-13x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -9  \qquad\textbf{b)}\ -8  \qquad\textbf{c)}\ -11  \qquad\textbf{d)}\ -12  \qquad\textbf{e)}\ -10$

19.2
$x^2+2x$ ve $x^3-11x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -7  \qquad\textbf{b)}\ -9  \qquad\textbf{c)}\ -8  \qquad\textbf{d)}\ -6  \qquad\textbf{e)}\ -10$

19.3
$x^2+2x$ ve $x^3-9x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -5  \qquad\textbf{b)}\ -4  \qquad\textbf{c)}\ -8  \qquad\textbf{d)}\ -6  \qquad\textbf{e)}\ -7$

19.4
$x^2+2x$ ve $x^3-16x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -12  \qquad\textbf{b)}\ -10  \qquad\textbf{c)}\ -11  \qquad\textbf{d)}\ -13  \qquad\textbf{e)}\ -9$

19.5
$x^2+2x$ ve $x^3-5x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -1  \qquad\textbf{b)}\ -2  \qquad\textbf{c)}\ -3  \qquad\textbf{d)}\ -4  \qquad\textbf{e)}\ -6$

19.6
$x^2+2x$ ve $x^3-8x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -4  \qquad\textbf{b)}\ -5  \qquad\textbf{c)}\ -8  \qquad\textbf{d)}\ -6  \qquad\textbf{e)}\ -3$

19.7
$x^2+2x$ ve $x^3-10x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -6  \qquad\textbf{b)}\ -5  \qquad\textbf{c)}\ -8  \qquad\textbf{d)}\ -10  \qquad\textbf{e)}\ -9$

19.8
$x^2+2x$ ve $x^3-15x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -11  \qquad\textbf{b)}\ -10  \qquad\textbf{c)}\ -12  \qquad\textbf{d)}\ -13  \qquad\textbf{e)}\ -9$

19.9
$x^2+2x$ ve $x^3-6x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -3  \qquad\textbf{c)}\ -4  \qquad\textbf{d)}\ -5  \qquad\textbf{e)}\ -6$

[taftazani44]

$$\begin{aligned}x^{2}+2x=n,n\in Z\\ x^{3}-13x=k,k\in Z\end{aligned}$$ alalım.

$$\begin{aligned}x^{2}=n-2x\\ x^{3}-13x=k\\ x\left( n-2x\right) -13x=k\\ \Rightarrow nx-2x^{2}-13x=k\\ \Rightarrow nx-2\left( n-2x\right) -13x=k\end{aligned}$$
$\begin{aligned}\Rightarrow \left( n-9\right) x-2n-k=0\\ \Rightarrow n=9,k=-18\\ x^{2}+2x=n\\ \Rightarrow x^{2}+2x-n=0\\ \Rightarrow x^{2}+2x -9=0\\ x_{1}x_{2}=-9\end{aligned}$