2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

18.1
$a_0=15$, $a_1=27$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 78  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 55  \qquad\textbf{d)}\ 64  \qquad\textbf{e)}\ 72$

18.2
$a_0=10$, $a_1=10$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 20$

18.3
$a_0=11$, $a_1=11$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 22  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 25$

18.4
$a_0=21$, $a_1=6$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 21  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 20$

18.5
$a_0=9$, $a_1=16$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 27  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 25$

18.6
$a_0=20$, $a_1=12$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 44  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 36$

18.7
$a_0=20$, $a_1=22$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 84  \qquad\textbf{b)}\ 72  \qquad\textbf{c)}\ 62  \qquad\textbf{d)}\ 64  \qquad\textbf{e)}\ 54$

18.8
$a_0=13$, $a_1=16$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 39  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 36$

18.9
$a_0=8$, $a_1=21$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 32  \qquad\textbf{b)}\ 36  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 40$

[Metin Can Aydemir]

18.1) Cevap: $\boxed{A}$

$k=m$ için verilen eşitliği düzenlersek $a_m\cdot a_{m-1}=5+a_{m-1}$ elde edilir. Bu eşitliği ve $k=m-1$ için verilen eşitliği kullanırsak $a_{m-1}a_{m-2}=10+a_{m-2}$ elde edilir. Bu işlemi devam ettirirsek $t=0,1,\dots,m-1$ için $$a_{m-t}a_{m-1-t}=10(t+1)+a_{m-1-t}$$ olduğunu görebiliriz. Bunu tümevarımla da ispatlaması kolaydır. Bu elde ettiğimiz yeni eşitlikte $t=m-1$ yazarsak $$a_1a_0=5m+a_0\implies m=78$$ elde edilir.