2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

17.1
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1499)-S(1500)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 744  \qquad\textbf{b)}\ 746  \qquad\textbf{c)}\ 728  \qquad\textbf{d)}\ 720  \qquad\textbf{e)}\ 750$

17.2
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1249)-S(1250)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 617  \qquad\textbf{b)}\ 619  \qquad\textbf{c)}\ 610  \qquad\textbf{d)}\ 596  \qquad\textbf{e)}\ 625$

17.3
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1239)-S(1240)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 613  \qquad\textbf{b)}\ 615  \qquad\textbf{c)}\ 590  \qquad\textbf{d)}\ 600  \qquad\textbf{e)}\ 620$

17.4
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1019)-S(1020)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 507  \qquad\textbf{b)}\ 509  \qquad\textbf{c)}\ 500  \qquad\textbf{d)}\ 496  \qquad\textbf{e)}\ 510$

17.5
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1299)-S(1300)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 646  \qquad\textbf{b)}\ 648  \qquad\textbf{c)}\ 595  \qquad\textbf{d)}\ 607  \qquad\textbf{e)}\ 650$

17.6
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1199)-S(1200)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 597  \qquad\textbf{b)}\ 599  \qquad\textbf{c)}\ 580  \qquad\textbf{d)}\ 590  \qquad\textbf{e)}\ 600$

17.7
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1109)-S(1110)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 552  \qquad\textbf{b)}\ 554  \qquad\textbf{c)}\ 520  \qquad\textbf{d)}\ 524  \qquad\textbf{e)}\ 555$

17.8
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1001)-S(1002)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 498  \qquad\textbf{b)}\ 500  \qquad\textbf{c)}\ 496  \qquad\textbf{d)}\ 492  \qquad\textbf{e)}\ 501$

17.9
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1111)-S(1112)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 551  \qquad\textbf{b)}\ 524  \qquad\textbf{c)}\ 519  \qquad\textbf{d)}\ 526  \qquad\textbf{e)}\ 556$

[Metin Can Aydemir]

17.1) Cevap:$\boxed{A}$

Verilen toplama yapacağımız gruplamada simetriyi bozmasın diye $-S(0)=0$'ı da ekleyelim. Şimdi sayıları onar onar gruplayalım. $$-S(0)+S(1)-S(2)+\cdots+S(9)$$ $$-S(10)+S(11)-S(12)+\cdots+S(19)$$ $$\vdots$$ $$-S(1490)+S(1491)-S(1492)+\cdots+S(1499)$$ ve bu grupların dışında kalan $-S(1500)=-6$ var. Sırayla artı ve eksi olarak ilerlenildiği için ve her grupta eşit sayıda artı/eksi olduğundan aynı olan kısımlar birbirini eleyecektir. Yani sadece birler basamağı önemlidir. Dolayısıyla her gruptan $-S(0)+S(1)-S(2)+\cdots+S(9)=5$ toplamı gelecektir ve $150$ tane grup olduğundan gruplardan $150\cdot 5=750$ gelecektir. $-S(1500)=-6$'yı da eklersek $744$ elde edilir.