2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

14.1
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{16}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{16x}{x^2-3x+16}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.2
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{18x}{x^2-4x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.3
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{20}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{21x}{x^2-4x+20}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.4
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{18x}{x^2-10x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.5
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{10}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{12x}{x^2-4x+10}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.6
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{12}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{22x}{x^2-4x+12}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 7$

14.7
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{13}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{11x}{x^2-4x+13}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.8
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{14x}{x^2-4x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.9
$x \in \mathbb R$ olmak üzere,  $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{10x}{x^2-4x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[taftazani44]

14.1
                         $x+\dfrac{16}{x}=\dfrac{x^{2}+16}{x}$
\begin{aligned}x+\dfrac{16}{x}=\dfrac{x^{2}+16}{x}\\
\dfrac{16x}{x^{2}-3x+16} >1\end{aligned}
$\dfrac{x^{2}-3x+16}{16x} <1$
$\dfrac{x+\dfrac{16}{x}-3}{16} <1$
$\left( x+\dfrac{16}{x}\right) \in \left\{ 2,3,5,7,11,13,17\right\}$
Ancak,
2,3,5,7 asalları için
$x+\dfrac{16}{x}=2,3,5,7$
Denkleminin ∆ sı negatif oldugu için x reel sayı olmaz.
Dolayısıyla 11,13,17 asalları istenen şartları sağlar.