1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Şekilde yarıçapı $R$ ve $r$ ($R > r$) olan iki çember $A$ noktasında birbirine teğettir. Büyük çember üzerinde alınmış bir $B$ noktasından küçük çembere $C$ noktasında teğet olan bir doğru çizilmiştir. $|AB|=a$ ise, $|BC|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a \sqrt{1+\dfrac{r}{R}} \qquad\textbf{b)}\ a \dfrac{R+r}{R-r}  \qquad\textbf{c)}\ a \sqrt{\dfrac{R+r}{R-r}} \qquad\textbf{d)}\ a \sqrt{\dfrac{R}{R+r}} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{a^2+R^2+r^2}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Bu soruda şeklin yanılgısına düşüp $BC$ doğrusunun büyük çembere de teğet olduğu sanılabilir ama bu şart değildir ve soruda verilmemiştir. Buna dikkat ederek çözüm yapalım. $BA$'nın küçük çemberi ikinci kere kestiği nokta $D$ olsun. Büyük çemberin merkezi $O_1$, küçük çemberin merkezi $O_2$ olsun. $O_1$, $A$, $O_2$ doğrusal olduğundan ve $ABO_1$ ile $ADO_2$ ikizkenar olduğundan bu ikisi, ters açıdan dolayı, benzer üçgenlerdir. Dolayısıyla benzerlikten $|AD|=\frac{ar}{R}$ olacaktır. $BC$ teğet olduğundan kuvvet teoreminden $$|BC|^2=|BA||BD|=a\left(a+\frac{ar}{R}\right)\implies |BC|=a\sqrt{1+\frac{r}{R}}$$ elde edilir.