1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

Üç avcı bir hedefe ateş ediyorlar. Bu avcılardan birincisinin hedefi vurma olasılığı $\dfrac12$, ikincisinin hedefi vurma olasılığı $\dfrac13$ ve üçüncüsünün hedefi vurma olasılığı $\dfrac14$' tür. Bu avcılar üçü birden aynı hedefe birer kez ateş ettiklerinde hedefe tam iki vuruşun isabet etme olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac14 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{8} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{12} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2}$

[taftazani44]

$\begin{aligned}p\left( a\right) =\dfrac{1}{2}\\ p\left( b\right) =\dfrac{1}{3}\\ p\left( c\right) =\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
$\begin{aligned}p\left( a,b\right) =\dfrac{1}{6}\\ p\left( a,c\right) =\dfrac{1}{8}\\ p\left( b,c\right) =\dfrac{1}{12}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{9}{24}\\ =\dfrac{3}{8}\end{aligned}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Birinci Yol: İki kişinin vurup, üçüncünün ıskalaması gerekir. Bu durumda olasılık $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$$ elde edilir.

İkinci Yol: İki kişinin vurduğu durumları hesaplayıp, $3$ defa sayılan üç kişinin birden vurduğu durumları çıkartmalıyız. $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}-3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$ elde edilir.