1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

$a$,$b$,$c$,$d$ reel sayılar, $0 \leq a \leq b \leq c \leq d$ ve $a+b+c+d=4$ ise, $b+c$ 'nin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac83 \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{10}{3} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{15}{4}$

[taftazani44]

$\begin{aligned}a=0\\ b+c+d=4\\ b\leq d\\ c\leq d\\ d\leq d\\ b+c+d\leq 3d\end{aligned}$
$\begin{aligned}4\leq 3d\\ d\geq \dfrac{4}{3}\\ \min \left( d\right) =\dfrac{4}{3}\\ b+c=\dfrac{8}{3}\end{aligned}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Eğer $b+c$ ifadesi en büyük değerini $a>0$ olduğu bir durumda alıyorsa $(a,b,c,d)\to \left(0,b+\frac{a}{3},c+\frac{a}{3},d+\frac{a}{3}\right)$ şeklinde yeni $(a',b',c',d')$ dörtlüsü için $a'+b'+c'+d'=4$ ve $0\leq a'\leq b'\leq c'\leq d'$ olacaktır ancak $b'+c'=b+c+\frac{2a}{3}$ olacağından çelişki elde edilir. Bu durumda en büyük $b+c$ değeri için $a=0$ olmalıdır.

Sorunun bu haliyle $0\leq b\leq c\leq d$ ve $b+c+d=4$ için $b+c=4-d$'nin en büyük değerini arayacağız. Yani $d$'nin minimum değerini bulmalıyız. $$b\leq c\leq d\implies b+c+d=4\leq d+d+d=3d\implies \frac{4}{3}\leq d$$ olacaktır. Bu durumda $b+c=4-d$'nin en küçük değeri $4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ olacaktır. Eşitlik durumu ise $(a,b,c,d)=\left(0,\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$'dir.